В задачах на движение обычно используют следующие величины: скорость, время движения и пройденный путь. Каждая из этих величин имеет свои единицы измерения.

Основные единицы измерения пути: километр, метр, дециметр, сантиметр и миллиметр.

Основные единицы измерения времени: час, минута, секунда.

Скоростью называют путь, пройденный за единицу времени. Основные единицы измерения скорости: км/ч (километры в час), м/мин (метры в минуту), м/сек (метры в секунду) и т.д.

При решении задач на движение обычно принимаются следующие допущения:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, то есть за одинаковое время тело проходит одинаковый путь.
2. Скорость, время движения и пройденный путь, как и в реальной жизни, считаются положительными.
3. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, то есть происходят без затрат времени; скорость при этом тоже меняется мгновенно.

Основная формула равномерного движения: S = v · t ,
Где S – путь, t – время, v – скорость.

ПУТЬ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ СКОРОСТИ НА ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ.

Если известны расстояние и время, то скорость находится по формуле: v = S: t ; если известны расстояние и скорость, то время находится по формуле: t = S: v

При решении задач «на движение» полезно составить иллюстративный чертеж. Этот чертеж следует делать таким, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми характерными моментами – встречами, остановками и поворотами. Хороший чертеж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в ее текст.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел.

1. Движение навстречу друг другу.

• Если два тела движутся навстречу друг другу, то скорость «их сближения» равна сумме скоростей данных тел.
• Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, равно S, то время, через которое они встретятся, равно:

t = S: (v 1 + v 2).

2. Движение в противоположные стороны.

• Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга» равна сумме скоростей данных тел.
• Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями v 1 и v 2 , через время t равно S = S 0 + (v 1 + v 2) · t, где S 0 – первоначальное расстояние между ними. S 0 = 0, если движение тел начинается из одной точки.

3. Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S, движутся в одном направлении со скоростями v 1 и v 2 , где v 2 > v 1 , то возможны два случая.

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v 2 –v 1), а время, через которое второе тело догонит первое, равно:

t = S: (v 2 – v 1).

2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v 2 – v 1), а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:

S 1 = S + (v 2 – v 1) · t

Рассмотрим задачу: Расстояние между домиками зайчат Белыш и Рыжик 34 км. Скорость Белыша 4,5 км/ч, скорость Рыжика в 1,2 больше, чем у Кеши. Какое расстояние будет между ними через 3 часа, если вышли они одновременно?

Обратим внимание, что в задаче не указано направление движения каждого из зайчат.

Поэтому необходимо рассмотреть следующие случаи.

1. Зайчата идут навстречу друг другу.

1. 4,5 + 5,4 = 9,9 (км/ч) – скорость сближения зайчат.
2. 34 – 29, 7 = 4,3 (км) – расстояние между зайчатами через три часа.

2. Зайчата идут в разные стороны.

1. 4,5 · 1,2 = 5,4 (км/ч) – скорость Рыжика.
2. 4,5 + 5,4 = 9,9 (км/ч) – скорость удаления зайчат друг от друга.
3. 9,9 · 3 = 29,7 (км) – расстояние, которое зайчата прошли за 3 часа.
4. 34 + 29, 7 = 63,7 (км) – расстояние между зайчатами через три часа.

3. Рыжик пошел в сторону домика Белыша, а Белыш – от своего домика в том же направлении, что и Рыжик.

1. 4,5 · 1,2 = 5,4 (км/ч) – скорость Рыжика.
2. 5,4 – 4,5 = 0,9 (км/ч) – скорость, с которой Рыжик догоняет Белыша.
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – расстояние, на которое зайчата сблизились за 3 часа.
4. 34 – 2, 7 = 31,3 (км) – расстояние между зайчатами через три часа.

4. Белыш пошел в сторону домика Рыжика, а Рыжик – от своего домика в том же направлении, что и Белыш.

1. 4,5 · 1,2 = 5,4 (км/ч) – скорость Рыжика.
2. 5,4 – 4,5 = 0,9 (км/ч) – скорость, с которой Рыжик удаляется от Белыша.
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – расстояние, на которое Рыжик удалился за 3 часа от Белыша.
4. 34 + 2,7 = 36,7 (км) – расстояние между зайчатами через три часа.

Движение по воде

Особые виды задач на движение – движение тел по воде. При решении задач на движение по воде необходимо помнить следующее:

• Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки.
• Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.
• Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

Рассмотрим задачу. Белыш в 7 часов утра отплыл от пристани «Веселые зайчата» на плоту вниз по течению реки. Через 8 часов Рыжик оплыл от этой же пристани на моторной лодке со скоростью 25 км/час и через два часа догнал Белыша. Найти скорость течения реки.

1. 25 · 2 = 50 (км) – проплыл Рыжик до встречи с Белышом.
2. 8 + 2 = 10 (час) – плыл Белыш, пока его не догнал Рыжик.
3. 50 · 10 = 5 (км/час) – скорость, с которой плыл Белыша на плоту. Это и есть скорость течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Дидактические:

• познакомить с понятиями “скорость сближения”” и “скорость удаления” умения проверять правильность вычислений;
• закрепить умение читать и строить модели движения;
• развивать и закрепить умение решать задачи на движение, умение составлять обратные задачи;
• закрепить вычислительные навыки сложения, вычитания, умножения и деления чисел, а также навыки вычислительных действий с дробями;

Развивающие:

• развитие творческих способностей, памяти, умения мыслить логически грамотно;
• развитие математической грамотной речи;

Воспитательные: воспитание интереса к математике;

Оборудование: Учебник Л.Г. Петерсон “Математика 4 класс, ч.2”, тестовые карточки. Компьютер, проектор, интерактивная доска. Иллюстративный материал (презентация в формате MS PowerPoint) <Презентация.ppt>.

Ход урока

Организационный момент.

– Здравствуйте, ребята, садитесь! Проверьте, все ли у вас готово к уроку.
– Вспомним правила посадки.
– Запишите число.

Цель урока (Постановка учебной задачи).

– Вспомните, пожалуйста, сколько объектов может одновременно двигаться по числовому лучу? Откуда могут начинать свое движение объекты? В каких направлениях могут двигаться объекты? С какой скоростью могут двигаться объекты?
– Сегодня мы выясним, что такое “скорость сближения”, “скорость удаления”, что нужно знать, чтобы определить, какая это скорость, как найти скорость сближения или удаления.
– Запишем тему урока “Скорость сближения и скорость удаления”.

Математический диктант.

1. Уменьшаемое 130, вычитаемое 111. Найдите разность.
2. Делимое 480, делитель 40. Найдите частное.
3. На сколько 200 >, чем 184?
4. Чему равны 2/3 от числа 27?
5. Во сколько раз 320 больше, чем 20?
6. Какое число увеличили в 3 раза и получили 57?
7. Сумму 95 и 105 разделить на 10.
8. 2/5 числа составляют 12. Найдите целое число.

Индивидуальные задания.

Выполняются на доске 2-мя учащимися во время математического диктанта.

Задание 1.

	S	V	t	Формула
I	? км	45 км/ч	7 ч
II	180 м	? м/мин	5 мин
III	960 м	16 м/с	? с
IV	? км	60 км/ч	60 мин

Задание 2.

Изобразите движение точек на координатном луче и запишите формулу движения точек:

1. Движение точки А начинается из точки с координатой (6) в правом направлении со скоростью 3 единичных отрезка в час. Движение точки Б начинается из точки с координатой (14) в левом направлении со скоростью 1 единичный отрезок в час. Чему равны координаты этих точек через 1 час, 2 часа?
2. Движение точки А начинается из точки с координатой (6) в левом направлении со скоростью 3 единичных отрезка в час. Движение точки Б начинается из точки с координатой (14) в правом направлении со скоростью 1 единичный отрезок в час. Чему равны координаты этих точек через 1 час, 2 часа?

Проверка математического диктанта и индивидуальных заданий.

Проверка математического диктанта.

– В ответах математического диктанта зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нам поможет алфавит русского языка.
– Каждый ответ соответствует порядковому номеру буквы в алфавите. Выпишите буквы в строчку.

Переход на Слайд 2 “Математический диктант”.

– Что у вас получилось? Проверяем.

По каждому клику на Слайде 2 заполняется один столбец таблицы.

– У кого получилось слово “скорость”, ставит себе 5.
– На какие 2 группы можно разделить числа математического диктанта?

1. на четные / нечетные
2. на круглые / некруглые;

– Что такое “скорость движения”?

Проверка задания 1.

	S	V	t	Формула
I	315 км	45 км/ч	7 ч	S=V*t
II	180 м	36 м/мин	5 мин	V=S:t
III	960 м	16 м/с	6 с	t=S:V
IV	60 км	60 км/ч	60 мин	S=V*t

– Как найти расстояние, зная скорость и время объекта?
– Как найти скорость, зная расстояние и время объекта?
– Как найти время, зная расстояние и скорость объекта?

Проверка задания 2.

– Сравните 2 чертежа. Что заметили? В чем отличие? Одинаковы ли виды скоростей?
– Как вы думаете, на каком чертеже будет идти речь о скорости сближения, а где – о скорости удаления?

Физкультминутка для глаз.

Объяснение понятий “скорость сближения” и “скорость удаления”.

Работа с упражнением 1 урока 24 (Слайды 3–6). По ходу объяснения ученикам задаются вопросы о том, что они видят на экране и после их ответов ученик заполняет таблицу на доске, остальные - в учебниках, затем учитель переходит к следующему шагу анимации.

Переход на Слайд 3 “1) Встречное движение”.

– Посмотрите на экран.
– Что вы можете сказать о движении Мальвины и Буратино?
– Какое это движение?
– В какой точке оказались Мальвина и Буратино через 1 минуту, через 2 минуты, через 3 минуты? Заполним таблицу.


– Сделаем вывод.

Переход на Слайд 4 “2) Движение в противоположных направлениях”.

– Посмотрите на экран.
– Что вы можете сказать о движении Синьора Помидора и Чиполлино?
– Какое это движение? Заполним таблицу.
– Из каких точек началось их движение? Заполним таблицу.
– В какой точке оказались Синьор Помидор и Чиполлино через 1 минуту, через 2 минуты, через 3 минуты? Заполним таблицу.
– Что происходит с расстоянием между объектами?

– Произойдет ли встреча?
– Сделаем вывод.

Переход на Слайд 5 “3) Движение вдогонку”.

– Посмотрите на экран.
– Что вы можете сказать о движении Крокодила Гены и Чебурашки?
– Какое это движение?
– Из каких точек началось их движение? Заполним таблицу.
– В какой точке оказались Крокодил Гена и Чебурашка через 1 минуту, через 2 минуты, через 3 минуты? Заполним таблицу.

– На сколько уменьшается расстояние между ними через каждую минуту?
– В какой точке и через сколько минут произошла встреча?
– Сделаем вывод.

Переход на Слайд 6 “4) Движение с отставанием””.

– Посмотрите на экран
– Что вы можете сказать о движении Пончика и Незнайки?
– Какое это движение?
– Из каких точек началось их движение?
– В какой точке оказались Пончик и Незнайка через 1 минуту, через 2 минуты, через 3 минуты? Заполним таблицу.
– Что происходит с расстоянием между объектами? Почему?
– На сколько увеличивается расстояние между ними через каждую минуту?
– Произойдет ли встреча?
– Сделаем вывод.
– Что такое “скорость сближения”? (Это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени. )
– Что такое “скорость удаления”? (Это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени. )

Составление опорной схемы.

Переход на Слайд 7 “Опорная схема”.
– Составим опорные схемы ко всем видам движения.

Физкультминутка.

Мы к лесной лужайке вышли,
Поднимая ноги выше,
Через кустики и кочки,
Через ветви и пенечки.
Кто высоко так шагал –
Не споткнулся, не упал.

Решение задач с комментированием.

Для закрепления знаний учащимися разбираются и решаются задачи на все виды движения.
– Решим несколько задач и определим, о какой скорости: сближения или удаления идет речь? Чему она равна? А помогут нам в этом герои сказки “Золотой ключик”.

Работа со Слайдами 8–11. Ученики определяют по Слайду, к какой опорной схеме относится задача, и предлагают способ ее решения.

Работа с классом:

1. Переход на Слайд 8 “Задача на движение в противоположных направлениях”.

Кот Базилио с лисой Алисой и Буратино разошлись с Поля Чудес в противоположных направлениях со скоростями 6 ед./мин и 25 ед./мин. Как и с какой скоростью изменится расстояние между ними?

Переход на Слайд 9 “Задача на встречное движение”.

По озеру одновременно навстречу друг другу плывут Буратино на кувшинке и черепаха Тортила. Скорость Буратино 14 ед./ч, а скорость Тортилы 9 ед./ч. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними?

Переход на Слайд 10 “Задача на движение с отставанием”.

Карабас Барабас выбежал из харчевни вслед за Буратино со скоростью 3 ед./с. Как изменяется расстояние между Карабасом Барабасом и Буратино, убегающим от него со скоростью 8 ед./с?

Переход на Слайд 11 “Задача на движение вдогонку”.

Пьеро, сидя на зайце, догоняет Буратино со скоростью 5 ед./с. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними, если Буратино бежит со скоростью 2 ед./с?

Индивидуально:

1. Разбойники гонятся за Буратино, который убегает от них со скоростью 19 ед./мин. Как изменяется расстояние между Буратино и разбойниками, если они бегут со скоростью 23 ед./мин.
2. Составьте обратную задачу к 1-ой задаче.
3. Измените условие 2-ой задачи так, чтобы она решалась “-”.
4. Измените условие 4-ой задачи так, чтобы она решалась “+”.

Самостоятельное решение задач (тест).

Для проверки знаний и умений по данной теме учащиеся получили тестовые карточки с заданием “Установите соответствие между схемой задачи и ее решением (1 и 2 варианты)”.
– Рассмотрите схемы задач, определите, о какой скорости движения идет речь (сближения или удаления), соедините с подходящим выражением и вычислите его.

Взаимопроверка решений задач.

Учащиеся проверяют выполнение задания с помощью Слайдов 12–13.

Итог урока.

– Подошёл к концу наш урок. О чем сегодня узнали на уроке? Что важно знать, чтобы определить скорость сближения или удаления? Что вам особенно понравилось, запомнилось?

Домашнее задание.

Примеры, задача

Выставление отметок и поощрение учеников.

В течение всего урока работа и ответы учеников оценивались словесно и поощрительными медальками.

Список использованных источников и литературы.

1. Учебник Л.Г. Петерсон “Математика 4 класс, ч.2”.
2. Картинки с персонального сайта Николая Козлова http://nkozlov.ru/library/s318/d3458/

Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.

Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.

Разновидности

Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:

• встречное движение;
• вдогонку;
• движение в противоположном направлении;
• движение по реке.

Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.

Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.

Движение навстречу

Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.

Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.

Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.

Второй способ

Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.

Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.

Движение в противоположном направлении

Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"

Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:

1. Путь первого зайца: 40*2=80 км.
2. Путь второго зайца: 45*2=90 км.
3. Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.

Но возможен и другой вариант.

Скорость удаления

Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.

Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.

Движение вдогонку

Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"

Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.

Выводы

Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:

• при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
• если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
• если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.

Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?

Течение

Здесь могут встречаться опять же:

• задачи на движение навстречу друг другу;
• движение вдогонку;
• движение в противоположном направлении.

Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.

Пример задачи на движение по реке

Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.

Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.

Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);

120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;

Решаем уравнение:

Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.

Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t , υ = S: t , t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления – это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .

Примеры решения задач.

Задача №1. Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения в разных направлениях )
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ: скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3. Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2 – скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении )
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ: скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4. Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях )
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)

S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ: через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях )
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ: встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение .
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях )
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t ⇒ t = S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ: через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2 ;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t —расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t — расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S = S 1 + S 2 = υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2) = t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2) — время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ: расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача . Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача . Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?